1
พื้นฐานของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองแบบเชิงเส้น
MATH009Lesson 3
00:00
จินตนาการถึงการก้าวจากโลกที่มีมิติเดียวสู่ภูมิประเทศที่มีมิติสองแห่งของการเคลื่อนไหว ในพลศาสตร์ลำดับแรก เราได้ติดตามการเติบโตและการสลายตัวอย่างง่าย แต่เพื่อจำลองการแกว่งของลูกตุ้มหรือการกระโดดของสะพานแขวน เราต้องใช้ ตัวดำเนินการเชิงเส้นอันดับสอง. สไลด์นี้สร้างเครือข่ายความปลอดภัยทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นบทพิสูจน์ที่รับรองว่าคำตอบมีอยู่ และสะพานเชิงพีชคณิตที่ช่วยให้เราแก้ปัญหาการคำนวณอนุพันธ์โดยใช้สมการกำลังสองง่าย ๆ ได้

1. ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

เราได้กำหนดตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง $L$ ที่กระทำต่อฟังก์ชัน $\phi$ ดังนี้:

$L[\phi] = \phi'' + p(t)\phi' + q(t)\phi$

สำหรับสมการเชิงเส้นที่เป็นศูนย์ $L[y] = 0$ หลักการ หลักการซ้อนทับ ระบุว่าหาก $y_1$ และ $y_2$ เป็นคำตอบ แล้วผลรวมเชิงเส้นของพวกมัน $y = c_1y_1(t) + c_2y_2(t)$ ก็จะเป็นคำตอบเช่นกัน ความเป็นเชิงเส้นนี้เป็นรากฐานของการออกแบบโครงสร้างและการประมวลผลสัญญาณ

ทฤษฎีบท 3.2.1: การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์
พิจารณาปัญหาค่าเริ่มต้น $y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t)$ โดยที่ $y(t_0) = y_0, y'(t_0) = y_0'$ หาก $p, q,$ และ $g$ เป็น ต่อเนื่อง ในช่วงเปิด $I$ ที่มี $t_0$ อยู่ แล้วจะมีคำตอบเดียว $y = \phi(t)$ ที่มีอยู่ตลอดช่วง $I$

2. สัมประสิทธิ์คงที่ และการลดรูปเชิงพีชคณิต

เมื่อสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงที่ ($ay'' + by' + cy = 0$) เราสมมุติว่าคำตอบอยู่ในรูป $y = e^{rt}$ การแทนที่ลงในสมการเชิงอนุพันธ์จะได้ สมการลักษณะเฉพาะ:

$ar^2 + br + c = 0$

เมื่อราก $r_1, r_2$ เป็นจำนวนจริงและแตกต่างกัน คำตอบทั่วไปจะถูกสร้างขึ้นเป็น:

$y = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$

ตัวอย่าง: รากที่แตกต่างกัน (ตัวอย่าง 2 และ 3)

โจทย์
แก้สมการ $y'' + 5y' + 6y = 0$ โดยที่ $y(0)=2, y'(0)=3$
คำตอบ
1. สมการลักษณะเฉพาะ: $r^2 + 5r + 6 = 0 \implies (r+2)(r+3)=0$ ราก: $r_1=-2, r_2=-3$
2. คำตอบทั่วไป: $y = c_1 e^{-2t} + c_2 e^{-3t}$
3. ค่าคงที่: สำหรับ $y(0)=2$ และ $y'(0)=3$ เราแก้ระบบเพื่อหาค่าคงที่เฉพาะสำหรับสถานะทางกายภาพนี้

3. สมการที่แน่นอนและสมการผูกพัน

สมการ $P(x)y'' + Q(x)y' + R(x)y = 0$ เป็น แน่นอน หากสามารถลดรูปเป็นรูป $(P(x)y')' + (f(x)y)' = 0$ ได้ เพื่อวิเคราะห์สิ่งนี้ เราใช้ สมการผูกพัน:

$P\mu'' + (2P' - Q)\mu' + (P'' - Q' + R)\mu = 0$

🎯 หลักการสำคัญ
การเปลี่ยนแปลงจากแคลคูลัสสู่พีชคณิตผ่านสมการลักษณะเฉพาะ แปลงอัตราการเปลี่ยนแปลงแบบไดนามิกให้กลายเป็นจุดพีชคณิตที่คงที่ ค่าคงที่ $c_1$ และ $c_2$ จะถูกกำหนดอย่างเดียวจากเงื่อนไขเริ่มต้น จึงปิดกั้นเส้นทางของระบบไว้
$c_1 = \frac{y_0' - y_0 r_2}{r_1 - r_2} e^{-r_1 t_0}, \quad c_2 = \frac{y_0 r_1 - y_0'}{r_1 - r_2} e^{-r_2 t_0}$